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“几何直观”的内涵及教育教学价值

时间:2014-11-04 11:55来源:广西教育 点击:

江苏省启东市中小学教师研修中心   蔡宏圣
 

     对于“几何直观”的含义及其意义,《义务教育数学课程标准(2011版)》(下文简称《课标》)中是这样论述的:“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”从严格意义上讲,这虽然只是对几何直观内涵的描述性解释,但却给了一线教师进行教学思考的基本依据。
     几何直观基于“图形与几何”而又超越“图形与几何”,几何直观是《课标》新增加的核心概念之一,其教育教学价值在于,一方面要培养学生的逻辑推理能力,另一方面也能培养学生的直观思考能力。在“图形与几何”的学习过程中,对实物或图形进行观察,形成表象进行思考和想象,都蕴含着丰富的几何直观因素。很多数学概念又都具有“数”与“形”两方面特征,要透彻地理解它们的本质意义,要从“数”“形”两个视角去认识和把握它们。因此,学会用图形思考和想象问题是学习数学的基本能力,在数学学习领域,要重视培养学生的几何直观能力。
     一、对图形的理解可以宽泛些
      几何直观的本质是凭借图形进行数学思考。对于小学生来说,我们在教学时对图形的理解可以稍为宽泛些,只要有利于学生的思考和理解,不必囿于规范的几何图形。比如,利用倒推策略解决问题,顺着把数量变化的过程表达清楚,倒推才有依据。因此,指导学生用箭头图描述数量变化过程,虽然挤占了学生的解题时间,但不应该被认为是多此一举的事情。此外,图形既可以是有形可视的,也可以是无形想象的。教学到了一定阶段,有的学生能凭借想象,在脑子里画出图来,直接利用表象在头脑中进行思考和想象,这时只要学生能顺畅思考,可以不必硬性要求学生必须画出图来。
     二、图形更为重要的是表达关系
     “4件上衣、3条裤子,一共有多少种不同的衣服搭配方法?”要求学生画图来尝试解答时,总有部分学生画出上衣和裤子的实物图来。由此可见,对小学生来说,几何直观首要的是学习如何用圆(圈)或三角形等几何图案替代实物,画出所述情境的示意图来。这个描述题意的过程,关注的是几何图案与具体实物间的一一对应。从实物图到示意图,学习的是用几何图形去表征数量的多少。这个过程虽然抽象,但终究还是简单的。重要的是,逐步让学生体会到几何直观更需要关注如何表达不同数学对象间的关系,而量本身的表达反而可以粗疏些。比如,从左往右数和从右往左数,小青都是排在第5个位置。用几何直观表达便是(见图1):

如果把“小青都是排在第5个位置”改成“小青都是排在第15个位置”,画图的时候是否必须在表示小青的圆的前面画14个三角形呢?答案是否定的,重要的是表达出那种重叠,而量的直观表达完全可以简练些(见图2)。随着学生年级的升高,这样的数量关系还可以用交叉的韦恩图来表征,量本身的表达可以更为简约,更为凝聚地表达量之间的关系。
     三、要看到图形的直观性,更要看到图形的抽象性
     数学中的抽象与直观是相对的,一个数学对象的几何直观对这个对象来说,是种直观,但对第一次接触这个直观方式的学生来说,便可能就是一种抽象。数学问题的表达可以有三种语言形态,比如:用自然语言表达“一把尺子6元,3把尺子18元”、“一个小组4人,3个小组12人”……这样的数量间的关系用数学符号语言表达,就是a和3a,而用几何直观的图形语言表示便是(见图3):

    
            
这样的图示,同样可以用来表示世界上所有的量量间具有3倍关系的两量,具有数学模型价值,表达的概括性一点也不比“a和3a”弱。借助图形直观地把握数学对象,进行数学思考,首先需要把研究“对象”抽象成为“图形”,再把“对象之间的关系”转化为“图形之间的关系”,这样就把研究的问题转化为“图形的数量或位置关系”的问题,进而进行思考分析。
     四、几何直观是一种意识,也是一种技能与能力,更是一种思维方式
     原北京师范大学周玉仁教授为考察低年级学生解决问题的思维水平,出了这样一道变式题:二年级两个班,这个学期(1)班转走了5人,(2)班转来8人,这个学期二年级人数比上学期(   )(    )人(只填空,不列式)。调查显示,该题的正确率为43%,相当一部分学生认为题中没有告诉上学期(1)、(2)班原有的人数,无法解答。然而,有一个学生不仅解答正确,而且还结合图形生动地叙述了他的思考过程(见图4):

图4

这个学生首先想到用图画出题意,其次能画出数量变化的过程来。而与此形成鲜明对比的是,在实际教学中,不少学生遇到数学问题时,宁可托着下巴冥思苦想,也不知道画画图,尝试算一算,在试探中寻找解题思路。对数学教学来说,几何直观首先表现为一种意识——面对数学问题能想到画图来帮助思考,其次表现为掌握一定的几何直观的画图技巧,能画出图来,并有借助图形进行思考的经历和体验,表现为一种能力,并通过想不想用图、会不会画图来不断地运用其来解决问题,形成正向的动力定型,最后逐步形成一种当遇到抽象理性的问题时,主动地退到适合的直观层面上去推动思维展开的思维方式。
     值得注意的是,不要把几何直观简单地等同于能用图描述问题的技能,几何直观更为深远地意义表现为能够借助图形去思考问题的能力。比如:从甲地到乙地,已经行走了全程的75%还剩50千米,请问已经行驶了多少千米?根据题意画出线段图(如图5):

从图中可以窥见,剩下的路程50千米相当于全程的(1-75%),所以已经行驶了:50÷(1-75%)×75%=150(千米)。明晰这样的常规解题思路还只是几何直观价值的一个方面,能体现几何直观深远意义的是,画图时候得琢磨一下:表示行驶路程的线段和还剩路程线段间的长短关系,这一琢磨就可以跳过常规思路的按部就班,从整体上直接把握这两个量间的关系,直接用“50×3=150(千米)”的方法来解答此题。正如美国著名数学家克莱因所言,直观是对概念、证明的直接把握。也就是说,直观是直接把握事物间关联关系的洞察能力,绝对不是一般的技能技巧。也正因为如此,数学逻辑和数学直观对于数学发展来说,都是重要的。
     五、几何直观承载的数学教育目标
     《义务教育数学课程标准(实验稿)》对空间观念的特征之一表述为:“能运用图形形象地描述问题,利用直观来进行思考”,这恰恰是2011年版课标“几何直观”的主要意思。几何直观和空间观念,由于共同的“几何图形”元素,两者之间相互依赖相互支撑。小学阶段的数形结合,主要是借助于“形”的直观来理解抽象的“数”,这又与几何直观难以区分。在这样的情况下,需要我们慎思的是,旧词就足以表达,为什么要凸显几何直观?
      2011年版的课标就学科培养目标明确提出“人人获得良好的数学教育”。“良好”意味着学生能感悟理解而不是死记硬背所学知识,而理解必须要借助直观。例如,1.50末尾的零不能去掉,因为1.50比1.5的精确度更高。根据四舍五入,1.5的取值范围是1.450~1.549,1.50的取值范围是1.495~1.504,用几何直观表示出来就是(如图6),凭借图学生对“精确度更高”的体会才更深刻。把握几何直观的价值,不仅仅在于“有助于探索解决问题的思路”,更为重要的是“帮助学生直观地理解数学”。

对于数学教学来说,有学者将几何直观的表现形式体现为实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观,以往教学中老师们经常使用的直观手段都放在几何直观的范畴里,其意义也就在于凸显数学教育要灵活地运用各种几何直观形式,加强直观,突出理解,以达成“良好的数学教育”。对于数学教学,教师不是要创造新的数学概念,而是引导学生对数学的理解,即如何把抽象的数学意义转换成学生易于理解和运用的具体感受、直观形式。为了理解,定义不是最重要的,引导学生形成各种直观的概念意象才是更为重要的事情。从这个视角看,几何直观比起空间观念和数形结合来,其意义和价值显然更为深远,从旧词中独立出来,也更能凸显和强调其内涵。
     由上面论述我们应该把握的是,几何直观虽然在解题中发挥着重要的作用,但对于数学学习来说,其更为重要的意义在于利用几何直观促进数学学习。在《课标》中,“几何直观”是作为数学思考的一种方式提出的,这进一步印证其深远的价值在于“帮助学生直观地理解数学”。因此,对于教学来说,教师要具有良好的几何直观的课程意识,具体表现为,在图形与几何知识的学习中,让学习者参与包括观察,图形替代物的折、叠、截、拼、展开等各种活动,以及画图表示出自然语言叙述的几何内容的空间形式与位置关系,积累的几何活动经验越丰富,学生的几何直观水平就越高。表现在其他领域知识的学习中,便是充分地挖掘和呈现数学知识中固有的几何直观因素,创造贴切的几何直观来理解所学的方式。这方面我们已经有了很多经典的案例,比如:用直条的移多补少来体会平均数意义、用求组合矩形(同宽的矩形组成一个大矩形)的面积来感悟乘法分配律、用能不能摆成多个矩形来体会素数与合数的意义,以及用各种几何直观的形式来理解各种计算的算理,等等。然而,对于小学生的数学学习来说,我们需要更多的合适的几何直观渗透在数学学习的细节处,这样学生对几何直观价值的感受才更真切、更清晰。例如,判断325能不能被3整除,只要看各数位上数字之和能不能被3整除,原因是325用计数单位画出来,每个“百”都分成了99和1,每个“十”都分成了9和1,因此,一个数能不能被3 整除,关键看所有多余的1能不能被3整除。
     用几何直观的方式来说明数学的内在道理,深入浅出,可以引导学生达成对学的深度理解。只有直观上懂,才是真正懂,这也正      如我们数学家张广厚所言:“数学无疑是一门高度抽象的学科,需要人们具有高度抽象思维的能力,但是也同样需要很强的几何直观能力。抽象思维如果脱离直观,一般是很有限度的。同样,在抽象中如果看不出直观,一般说明还没有把握住问题的实质”。
      当下,我们热议几何直观,是因为以往我们对数学的理解有失全面和辩证,总以为数学就是抽象理性、周密严谨,看不到数学发生发展过程中的直观形象、曲折错误,进而我们的数学教学也忽视了直观的价值。把握了这一点,也便知道了对于数学学习来说,直观终究是直观,它不可能是目的,要得知更多的数学发现,必须在直观基础上进行周密的分析和思考。此外,我们也要防止因特殊位置的几何直观所带来的对有关概念和结论本质认识的干扰和误读。面对图形不能只问:你看到了什么?更为重要的是去追问:你思考到了什么?联想(想象)到了什么?发现了什么?依据是什么?与此同时,即便是要发挥直观对于数学学习的价值,几何直观也不是万能的。作为数学教师,要善于根据学习内容和学生的数学现实,灵活选择更易于学生获得数学理解的形式。
 

“几何直观”的内涵及教育教学价值

“几何直观”的内涵及教育教学价值
 


 

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