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从思维层面突破解析几何

时间:2022-04-22 15:26来源:中国教育报
      平面解析几何作为高考数学的重要组成部分,主要包含直线与圆以及圆锥曲线两部分内容,在通过计算关的情况下,很多学生面对考试,总是感到无从下手。如何突破这个瓶颈呢?我认为重点要从思维层面对解析几何进行突破。
 
      要明确解析几何的核心是什么
 
      简而言之,解析几何就是用代数方法研究几何问题。
      第一,解析几何的研究对象是几何对象,解决的是几何问题,我们需要关注几何对象的特征——形状、大小、位置,同时透彻分析所面对的几何问题。如果我们关注的是单一的几何对象,比如基本的点、线(包括直线与曲线)等,我们需要关注是用什么方式呈现给我们的,如果是描述表达的,那么需要思考所描述的特征如何进行代数表达,为后期的代数化做好准备;如果是通过坐标或方程的形式给我们的,那么代数表达下实际的几何特征又是什么,需要我们第一时间搞清楚。如果我们关注的是多个几何对象,除了需要搞清楚单一几何对象的特征外,还要搞清楚多个几何对象之间的关系:如果是固定不动的几何对象,往往我们更关注相互之间的位置关系;如果是运动的多个几何对象,我们需要搞清楚在运动过程中什么是变的、什么是不变的,在变化过程中有什么特征又是相对不变的。
      第二,解析几何的研究方式是代数方式,因此计算能力必须过关。代数化方式的选择不同,对于几何特征的表示就不同,对于几何问题的转化也会不同,直接的体现就是代数运算量的不同,而代数化方式的选择是基于对几何对象和几何问题特征的研究。对于几何对象特征把握得透彻、对于几何问题思考得深入,才能选择更好的代数化方式。
 
     要明确解决解析几何问题的一般步骤
 
     在深刻理解解析几何“用代数方法研究几何问题”这个核心之后,还要做到从几何中来、到几何中去,注重代数化方法的选择。
     解决解析几何的问题,一般分为以下四个步骤:
    (1)结合图形分析几何特征:既然是几何问题,图形是重要的分析手段。通过作图并标记几何条件,分析所有对象的几何特征,包括个体对象的形状、大小、位置,尤其是运动的几何对象在运动过程中不随运动改变的特征,以及几何对象之间的关系。通过特征分析,为代数化几何特征做好充足的准备。
    (2)几何特征恰当代数化:对于个体几何对象,我们通常借助坐标或方程的方式进行代数化,对于固定的几何对象也要注重选择恰当的代数化手段,如选择不同的方程形式;而几何对象之间的关系,往往我们通过联立方程组、引进参数建立方程等方式进行代数化,这时我们特别需要注意在准确表达的同时尽量减少方程的数量以及参数的个数,为后期的代数运算“减负”。
    (3)优化代数运算解决问题:比如面对有关范围的问题,我们往往转化为函数问题研究解决,在高中阶段解析几何中的范围问题,我们大多可以转化为二次函数或者对勾函数去解决,当我们成功转化为函数问题后,同时不只要关注函数的单调性,还要关注到几何背景,比如我们研究的几何对象的范围;再比如关于直线过定点的问题,一种方式是采用写出含参的直线方程,通过对方程的代数化分析找到定点,另外一种方式是通过对几何对象特殊位置的分析,找到定点,采用先猜后证的方式进行解决,而采用先猜后证的方式往往比通过分析找到定点的计算量会小不少,相比较来说就是更优的解决问题方式。
    (4)把代数化的结论还原成几何结论,积累解决问题的经验。往往通过代数化的手段,问题已经得到解决了,但是得到的几何结论有没有更深刻的几何背景呢?比如我们在圆中有圆幂定理,那么如果在椭圆中得到了类似的结论,是巧合还是必然?如果是必然,那么背后是否有更深的几何意义?当我们积累到一定程度的时候,会发现似乎解析是帮我们解决问题的手段,发现解析背后的原理才是我们思考的终极乐趣。(王雨新  北京师范大学第二附属中学)
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